ממוצע הנדסי, סדרה עולה, יורדת או מתחלפתסדרות 472 · שיעור 16

סדרות · שאלון 472

שיעור 16: ממוצע הנדסי, סדרה עולה, יורדת או מתחלפת

פרק 4 – סדרה הנדסית

1נוסח השאלה

2סעיף א – ממוצע הנדסי

3סעיף ב – האיבר השמיני והסכום

4סעיף ג – עולה, יורדת או מתחלפת

📄 נוסח השאלה

המספרים x , x + 3 , x + 9 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

א. מצאו את x ואת מנת הסדרה.

ב. שלושת המספרים הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה. מצאו את האיבר השמיני ואת סכום שמונת האיברים הראשונים.

ג. לכל אחת מהסדרות ההנדסיות הבאות קבעו אם היא עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת:

(1) a₁ = 5 , q = 12 (2) a₁ = −2 , q = 3 (3) a₁ = 4 , q = −2

סעיף א – ממוצע הנדסי

בשלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השניים שמשני צדדיו:

(x + 3)² = x(x + 9)

📐 ממוצע הנדסי

x² + 6x + 9 = x² + 9x

📐 נוסחת הכפל המקוצר

6x + 9 = 9x

9 = 3x

x = 3

📐 ממוצע הנדסי

b² = a · c

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(x + y)² = x² + 2xy + y²

סעיף א – ממוצע הנדסי · המשך

x = 3

האיברים: 3 , 6 , 12.

q = 63 = 2

📐 מנת הסדרה ההנדסית

בדיקה: 126 = 2 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3 , q = 2

📐 מנת הסדרה ההנדסית

q = a_{n + 1}a_n

סעיף ב – האיבר השמיני והסכום

a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

S₈ = 3(2⁸ − 1)2 − 1 = 3 · 255 = 765

📐 סכום בסדרה הנדסית

✅ פתרון סופי: a₈ = 384 , S₈ = 765

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

📐 סכום בסדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

סעיף ג – עולה, יורדת או מתחלפת

כותבים כמה איברים ובודקים:

(1) 5 , 2.5 , 1.25 , ... – איברים חיוביים שקטנים: סדרה יורדת.

(2) −2 , −6 , −18 , ... – איברים שליליים שהולכים ומתרחקים מאפס כלפי מטה: סדרה יורדת (גם ש־q > 1).

(3) 4 , −8 , 16 , −32 , ... – המנה שלילית, הסימנים מתחלפים: לא עולה ולא יורדת.

כלל: כשהמנה שלילית הסימנים מתחלפים. כשהמנה חיובית, הסדרה עולה או יורדת לפי הסימן של a₁ ולפי q (גדולה מ־1 או בין 0 ל־1).

✅ פתרון סופי: (1) יורדת (2) יורדת (3) לא עולה ולא יורדת

📌 סיכום התשובות

סעיף א

x = 3 , q = 2

סעיף ב

384 , 765

סעיף ג

יורדת, יורדת, מתחלפת

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא